Probabilidad, la hermana inseparable de la estadística

Por ir haciendo caja, antes de las vacaciones, de alguno de esos temas largamente prometidos y nunca tratados, voy a intentar hoy componer cuatro palabras sobre la probabilidad y donde encaja en todo el meollo aquel de la estadística que os contaba hace algunas semanas. La cosa surge del acertado comentario de Melisa en aquella entrada:

Uno intentó convencerme de todas las maneras de que tirando una moneda al aire 1000 veces, la estadística decía que aproximadamente la mitad de las veces sería cara y la mitad cruz.

Sigo pensando que podría salir siempre cara..

Melisa, te felicito, porque el comentario tiene su miga y tienes razón. Es posible que te salga siempre cara... El meollo de la cuestión es... ¿qué probabilidad tienes de que eso ocurra? O dicho de otro modo, ¿cuántas veces en media (va en negrita porque es importante... te puede salir una vez a la primera, pero no todas las que lo intentes) tendrías que lanzar al aire la moneda mil veces para que saliese esas mil veces seguidas cara y ninguna cruz?

Analicemos la jugada: tenemos una moneda, la tiramos al aire. Todos estamos de acuerdo en que si no hay truco, las dos posibilidades tienen que tener la misma probabilidad. Por motivos matemáticos, la suma de las probabilidades de todos los sucesos es igual a 1, así que despreciando el que se nos caiga la moneda de canto (sí, ya he reconocido que somos un fraude, empezamos despreciando la cruel realidad desde el principio) la probabilidad de que salga cara es igual a la probabilidad de que salga cruz y ambas valen 0.5

La segunda cuestión con la que hay que enfrentarse en éste tipo de problemas es si mis sucesos están conectados el uno con el otro (lo que llamamos probabilidad condicionada) o si por el contrario son independientes (vamos, que la probabilidad del primero no tiene nada que ver con la del segundo). En este caso, la probabilidad de cada suceso es totalmente independiente del suceso anterior. Tampoco es demasiado difícil de razonar si pensamos en que no hay diferencia entre tirar la misma moneda 1000 veces o tirar 1000 monedas distintas. Las monedas, siempre que no estén trucadas, son todas ellas indistinguibles. La cuestión no es trivial, puesto que implica que si han salido 25 caras, la probabilidad de obtener cara en la tirada 26 sigue siendo 0.5 (curiosamente, ésto le suele chocar a muchas personas, tanto que tiene un nombre, se conoce como la falacia del jugador).

Os voy a pedir un salto de fe a los no matemáticos, pero si no la entrada se nos haría eterna. Aceptad que las probabilidades de dos sucesos son independientes entre sí, la probabilidad de que ocurran los dos es el producto de sus probabilidades (probabilidad conjunta, está aquí explicada de forma bastante sencilla). Por lo tanto, la probabilidad que andamos buscando, que al tirar 1000 veces una moneda al aire salga 1000 veces seguida cara, sería 0.5 elevado a 1000. Algo así como 9e-302 redondeando si no me he equivocado con la calculadora, que es mi cruz en este tipo de problemas. Vamos que tendrías que probar en media, 1e301 (para los que no entienden notación matemática, eso es un 1 seguido de 301 ceros... la cifra tiene su miga, ¿alguno de los míos sabe cómo se llama eso en cristiano?). Eso no quita que te pudiera salir a la primera, oye, que todo es posible, pero vamos, poco probable...

No sé si habré logrado recuperar la fe en la estadística que Melisa perdió en algún punto o a la que he perdido en este punto es a la propia Melisa. Pero una cosa bonita es que las probabilidades han pasado a ser la base de muchas de las realidades que nos rodean. La física cambió radicalmente su rumbo a principios del siglo pasado (cuando yo lo estudié era mi siglo, me hace sentir muy mayor). Se pasó de considerar que cada partícula tenía su posición determinada en el tiempo a considerar que vivimos en un mundo en que las partículas son como los niños de dos años, se mueven tanto que en realidad no somos capaces de saber exactamente por donde andan. La única manera de poner manejarse en este nuevo universo en el que todo está desdibujado, resulta que es buscar la probabilidad de que al ir a medir tu partícula la encuentres en algún lado y gracias a esta idea, los físicos dieron un gran salto adelante que ayudó a comprender muchas cosas que hasta entonces parecían inexplicables. Bueno, yo no, porque estoy especializada en una rama que sigue tirando en su mayoría de conceptos clásicos (una de las máximas de la ciencia: si funciona nunca, nunca, se debe dejar de lado alegremente por una teoría nueva). Pero hay gente en este blog que trabaja día a día con éstos conceptos (y por ello no me extiendo más sobre el tema, por si meto la pata).

Y es que no os creáis que en realidad estas entradas de ciencia las escribo yo sola... en realidad, los listos en esta casa son los Supernenes.



He de agradecerle a SM las discusiones adicionales sobre la precisión, corrección y claridad en la explicación de conceptos. Y a twentydur la imagen de la moneda (pero que conste que le cito porque su blog tiene un apartado de estadística que está muy logrado).